Im Computerbereich spielt das sogenannte Binärsystem eine wichtige Rolle. Es handelt sich hierbei um ein Zahlensystem, welches für die Darstellung von Zahlen nur zwei verschiedene Ziffern verwendet. Von daher wird dieses System auch häufig Dualsystem genannt.
Während beim bekannten Dezimalsystem die Ziffern 0 bis 9 verwendet werden, wird das Binärsystem lediglich durch die beiden Ziffern 0 und 1 dargestellt. Dieses Stellenwertsystem basiert auf der Basis von 2. Wegen seiner großen Bedeutung in der Digital- und Computertechnik gehört dieses System neben dem Dezimalsystem zu den wichtigsten Zahlensystemen. Die Zahlen selbst, die im Binärsystem verwendet werden, nennt man Binär- beziehungsweise Dualzahlen.
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100% kostenlose Analyse anfordern!Geschichte des Binärsystems
Ursprünglich entwickelte der alt-indische Mathematiker Pingala im 3. Jahrhundert v. Chr. ein aus zwei Zahlen bestehendes Zahlensystem. Dieses System kannte jedoch keine Null. Auch in China wurde im 11. Jahrhundert ein ähnliches System mit einer Anordnung von Hexagrammen entwickelt. Es gibt jedoch keine Hinweise darauf, ob zu seiner Zeit irgendwelche Berechnungen mit diesem Dualsystem durchgeführt wurden oder gar der Sinn des Stellenwertes erkannt worden ist.
Erst 1703 veröffentlichte Gottfried Wilhelm Leibniz eine Dokumentation unter der Bezeichnung Explication de l´Arithmetique Binaire, in der er die Ansicht von Joachim Bouvets vertrat, dass die chinesischen Tri- und Hexagramme in einer bestimmten Leserichtung als Zahlen eines Binärsystems zu interpretieren seien. Weniger bekannt ist die Behandlung des Dualsystems von Thomas Harriot.
1670 fand wahrscheinlich die erste Veröffentlichung über das Binärsystem statt. Sie stammt vom spanischen Bischof Lobkowitz, der bewies, dass Zahlen auch andere Basen besitzen dürfen. Dieser Meinung schloss sich auch der Mathematiker Blaise Pascal an. 1854 wurde erstmals das duale System als ein logisches Rechensystem vom Mathematiker George Boole beschrieben. Seine Boolesche Algebra stützt sich immer auf zwei Zustände und war bei der Entwicklung der früheren elektronischen Schaltungen wegweisend. Hierdurch wurde schließlich auch die Arithmetik im Binärsystem implementiert.
Im Jahr 1937 entwickelte George Stibitz in seiner Küche einen mit Relais bestückten Rechner, das Modell K, welcher die Addition von Binärzahlen beherrschte. Im selben Jahr wurde von Konrad Zuse eine komplett auf dem Binärsystem basierende Rechenmaschine, die Zuse Z1, entwickelt. Erst im Mai 1941 entwickelte Zuse mit seiner Z3 einen universell programmierbaren Digitalrechner.
1955 stellte schließlich das Bell Forschungslaboratorium den ersten aus Halbleitern bestehenden Digitalrechner der Welt vor. Das Modell nannte sich TRansistorized Airborne DIgital Computer.
Binärcode in der Datenverarbeitung
Das Dual- beziehungsweise Binärsystem kennt nur die beiden Zustände Ein und Aus. In der Digitaltechnik werden diese Zustände durch Strom aus oder Strom ein gekennzeichnet. Auf diese Weise lassen sich einfache und fehlerresistente Schaltungen für die Digitaltechnik entwickeln.
Der Binärcode aus zwei Zuständen kann daher auch in den bekannten zwei Ziffern 0 und 1 dargestellt werden. In der Datenverarbeitung können hierüber ganze Zahlen und Festkommazahlen dargestellt werden. Sollen negative Zahlen dargestellt werden, so werden diese in der Regel als Zweierkomplement im positiven Bereich der Binärzahlen angezeigt.
Rationale und reelle Zahlen können in der Binärschreibweise ebenfalls dargestellt werden. Hierzu werden bevorzugt Gleitkommadarstellungen verwendet. Die Zahl wird dabei normalisiert und in die Mantisse und den Exponenten aufgeteilt. Diese beiden Zahlen werden dann im Dualsystem abgespeichert.
Rechenarten im Binärsystem
Sämtliche Rechenarten, wie man sie auch im Dezimalsystem kennt, sind auch im Dualsystem möglich. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lassen sich mit entsprechenden Algorithmen schnell und einfach auf elektronische Schaltungen übertragen. Die wichtigste Grundrechenart in der digitalen Welt ist die binäre Addition. Hierbei werden ähnlich, wie im Dezimalsystem, zwei positive Dualzahlen addiert.
Bei einem Additionsergebnis muss man lediglich darauf achten, dass man hier keine 2 notiert, sondern eine 0 und an die nächste Stelle einen Übertrag notiert. Zunächst werden die beiden Dualzahlen übereinander aufgeschrieben. Generell arbeitet man von rechts nach links alle Binärziffern ab. Übrigens nennt man eine einzelne Binärziffer auch Bit, als kleinste Einheit. Bei jedem Zwischenschritt werden ein Ergebnisbit und ein Merkerbit für den Übertrag erzeugt.
Alle erzeugten Ergebnisbits stellen schließlich, von rechts nach links betrachtet, das Additionsergebnis dar. Sollte sich beim letzten Zwischenschritt noch ein zusätzliches Merkerbit ergeben, so schreibt man vor dem Ergebnis an der linken Seite noch eine zusätzliche 1.
Da Binärzahlen mit der Basis 2 arbeiten, ergeben sich beim Betrachten großer Zahlen auch sehr umfangreiche Dualzahlen. Diese langen Folgen mit Nullen und Einsen sind nur schwer zu überschauen. Um einen besseren Überblick zu bekommen, werden Dualzahlen häufig in das Hexadezimalsystem mit der Basis 16 umgewandelt. Dies ist besonders einfach, da die Basis 16 eine Potenz der Basis 2 darstellt. Dies verkürzt die Darstellung von Dualzahlen im Wesentlichen. Vereinfacht ausgedrückt lassen sich jeweils 4 Binärziffern immer in eine Hexadezimalziffer darstellen. Ebenso ist natürlich auch eine Umrechnung in das uns bekannte Dezimalsystem und umgekehrt möglich.
Häufige Fragen und Antworten
Was ist das Binärsystem?
Das Binärsystem ist ein Zahlensystem, das im Computerbereich eine wichtige Rolle spielt. Es verwendet nur zwei verschiedene Ziffern, 0 und 1, um Zahlen darzustellen. Das Binärsystem wird auch als Dualsystem bezeichnet und basiert auf der Basis 2. Es ist neben dem Dezimalsystem eines der wichtigsten Zahlensysteme in der Digital- und Computertechnik.
Wie hat sich das Binärsystem entwickelt?
Das Binärsystem wurde im 3. Jahrhundert v. Chr. von dem alt-indischen Mathematiker Pingala entwickelt. Es gab auch ähnliche Zahlensysteme in China im 11. Jahrhundert. Die Bedeutung des Stellenwertes wurde jedoch erst später erkannt. Im 17. Jahrhundert wurde das Binärsystem weiter erforscht und wurde schließlich in der Digitaltechnik und Computertechnologie implementiert. Heutzutage spielt das Binärsystem eine entscheidende Rolle in der Datenverarbeitung und Rechenoperationen.
Wofür wird das Binärsystem in der Datenverarbeitung verwendet?
Das Binärsystem wird in der Datenverarbeitung verwendet, um Zustände wie Ein und Aus zu kennzeichnen. Es ermöglicht die Darstellung von Zahlen, einschließlich ganzer Zahlen, Festkommazahlen, negativen Zahlen und rationalen/reellen Zahlen. Das Binärsystem ermöglicht die Implementierung von verschiedenen Rechenarten wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division in der digitalen Welt. Es ist ein effizientes und fehlerresistentes Zahlensystem für elektronische Schaltungen und bildet die Grundlage für die Funktion von Computern und anderen digitalen Geräten.
Wie funktioniert die binäre Addition im Binärsystem?
Die binäre Addition im Binärsystem funktioniert ähnlich wie die Addition im Dezimalsystem. Zwei positive Dualzahlen werden übereinander geschrieben und von rechts nach links abgearbeitet. Bei jedem Zwischenschritt wird ein Ergebnisbit und ein Merkerbit für den Übertrag erzeugt. Das Ergebnis wird von rechts nach links betrachtet und stellen die Summe der beiden Dualzahlen dar. Falls es am Ende noch einen Übertrag gibt, wird eine zusätzliche 1 vor dem Ergebnis geschrieben. Die binäre Addition ist eine der wichtigsten Berechnungen im Binärsystem und wird in der digitalen Welt häufig angewendet.